Poincaré Plot（庞加莱图），又称洛伦兹图（Lorenz Plot），是由法国数学家亨利·庞加莱（J.H.Poincaré）提出的一种非线性动力学分析工具，核心用于将一维时间序列数据转化为二维散点图，从而直观揭示系统的动态行为模式、稳定性及混沌特性。作为混沌理论的核心分析方法之一，它被广泛应用于生物医学、气候科学、天文学等多个领域，尤其在心率变异性（HRV）分析中已成为临床常用技术。
一、核心定义与作图原理
庞加莱图的本质是通过“迭代映射”将时间序列的动态特征可视化，其核心逻辑是构建相邻数据点的二维对应关系，具体作图步骤如下：
1.数据提取：获取目标系统的一维时间序列数据，如心电信号中的RR间期（两次R波之间的时间间隔）、气象数据中的气温序列等。
2.迭代配对：以序列中第n个数据点作为横坐标（X=RRₙ），第n+1个相邻数据点作为纵坐标（Y=RRₙ₊₁），形成散点（RRₙ, RRₙ₊₁）；依次迭代配对所有数据点，如（RR₁, RR₂）、（RR₂, RR₃）……（RRₙ, RRₙ₊₁）。
3.图形绘制：将所有配对形成的散点绘制于二维直角坐标系中，最终形成的散点集合即为庞加莱图。通过散点的分布形态、密度及结构，可反推原始时间序列的动力学特性。
这种作图方式具有迭代计算的独特性质，能将抽象的时间序列转化为具象的几何图形，使复杂系统的内在规律更易观察。
二、核心概念：吸引子与庞加莱截面
庞加莱图的分析核心依赖“吸引子”与“庞加莱截面”两大概念，二者共同构成了对非线性系统行为的解读框架：
1.吸引子
吸引子是描述动力学系统在相空间（虚拟的数学空间，用于表征系统所有可能状态）中终极行为模式的几何构形，具有稳定、吸引的特性，能反映系统演化的最终趋势。根据系统类型，吸引子可分为两类：
•平庸吸引子：对应周期系统，相空间维数为整数，结构简单、边缘规则。例如人工机械起搏器固定频率起搏的RR序列，其庞加莱图散点分布规则，呈现明显的周期性特征。
•奇怪吸引子：对应非线性混沌系统，具有分数维结构，形态复杂、轮廓不规则，是混沌系统无序稳态的直观体现。例如正常人窦性心律的RR序列，其庞加莱图呈“棒球拍”形，内部散点分布紊乱但整体轮廓稳定，具有分形自相似性。
吸引子的核心特性的是不可分割性，不同动力系统无法融合为同一吸引子，因此通过吸引子形态可快速区分系统类型及行为模式。
2.庞加莱截面
非线性系统的吸引子多为高维复杂立体结构（如洛伦兹吸引子的“蝴蝶状”立体构形），难以直接观察。庞加莱提出通过“截面剖切”的方式，将高维吸引子转化为二维图形，即庞加莱截面——相当于对高维吸引子做“切片”处理，所得截面的散点分布可精准反映原吸引子的内部结构。
1960年代，洛伦兹借助计算机绘制出气象系统的奇怪吸引子及庞加莱截面，揭示了气象系统的混沌特性，进一步推动了庞加莱图在非线性系统分析中的应用。
三、庞加莱图的核心特征与分析方法
庞加莱图的分析分为定性与定量两类，核心基于散点的形态、密度及衍生指标判断系统特性：
1.定性特征
•分形性：混沌系统的庞加莱图具有自相似性，同一数据不同时段的图形形态一致，仅细节存在差异。
•确定性与随机性统一：混沌系统的散点轮廓具有稳定性（确定性），但内部散点位置随机，与出现顺序无关。
•分岔现象：系统可在周期与混沌状态间转换，体现为庞加莱图形态的突变，反映系统动力学特性的改变。
2.定量指标
为精准量化系统特性，常通过椭圆拟合等方法提取指标，其中最常用的是：
•短轴标准差（SD1）：反映系统短期波动性，对应椭圆短轴长度，体现相邻数据点的变异程度。
•长轴标准差（SD2）：反映系统长期波动性，对应椭圆长轴长度，体现整体序列的变异趋势。
•SD1/SD2比值：用于区分系统混沌程度，不同生理病理状态下该比值存在显著差异，是临床诊断的重要依据。
四、主要应用领域
庞加莱图因能直观解析非线性系统特性，在多个领域具有广泛应用，其中生物医学领域最为成熟：
1.生物医学（核心应用领域）
在心率变异性分析中，庞加莱图可通过RR序列散点形态判断心脏状态：
•正常人窦性心律呈“棒球拍”形奇怪吸引子，SD1/SD2比值稳定；
•心衰患者呈平庸吸引子，图形结构简单、面积大；
•房性早搏、室性早搏等心律失常具有特征性散点分布，可实现快速分型诊断。
此外，还可用于分析呼吸模式、脑电信号等生理序列，辅助神经系统疾病、呼吸系统疾病的诊断。
2.气候与气象科学
用于分析气温、降水、气压等时间序列，通过庞加莱图的吸引子形态揭示气候系统的混沌特性，为长期气候预测提供理论支撑，如洛伦兹吸引子对气象混沌系统的表征。
3.其他领域
•天文学：研究行星运动轨迹的稳定性，通过庞加莱截面分析天体系统的动态演化。
•流体力学：探索湍流、涡旋等复杂流体行为，揭示流体系统的非线性动力学规律。
•经济学：分析金融市场价格序列，判断市场波动的混沌特性与稳定性。
五、局限性与发展趋势
1.局限性
传统二维庞加莱图存在时序信息丢失、高维系统表征不足的问题，难以全面反映复杂系统的动态演化过程；同时，散点图分析易受噪声干扰，对数据质量要求较高。
2.发展趋势
为突破二维局限，三维庞加莱图分析方法应运而生，通过引入第三个维度（如RRₙ₊₂）保留更多时序信息，结合局部分布熵等指标实现更精准的量化分析。此外，结合符号动力学、机器学习等技术，可进一步提升庞加莱图在疾病诊断、系统预测中的准确率，拓展其应用场景。
综上，庞加莱图作为非线性系统分析的经典工具，以其直观性、实用性在多学科领域发挥重要作用，随着技术迭代，其对复杂系统的解析能力将持续提升。
