在量子计算技术快速发展的背景下，RSA、ECC等传统基于大整数分解或离散对数问题的数字签名算法面临致命威胁——量子算法可在多项式时间内破解其依赖的数学难题。而基于格的数字签名算法凭借格问题的“量子抗性”，成为后量子密码学（PQC）领域中最成熟、最具应用前景的方案之一，被视为保障未来信息安全的核心技术。
一、核心基础：格与格困难问题
基于格的密码技术的安全性，根植于“格问题的计算困难性”，尤其是量子计算机也无法高效求解的一类格问题。要理解这类签名算法，需先明确两个核心概念：
1.格的通俗定义
格是n维欧几里得空间（ℝⁿ）中由一组线性无关的“基向量”通过整数线性组合生成的离散点集。例如，二维平面中以(1,0)和(0,1)为基的格，就是所有整数坐标点(x,y)构成的网格；若基向量变为(1,1)和(0,1)，则生成的格仍是离散点集，但点的分布更密集。
在密码学中，常用“格的基”描述其结构：其中“短基”（基向量长度较短）是关键私钥素材，而“长基”或基于基生成的矩阵则常作为公钥。
2.核心困难问题
基于格的数字签名算法的安全性，均“归约”于以下两类被证明具有量子抗性的困难问题：
（1）小整数解问题（SIS）
给定一个矩阵A ∈ ℤ_q^(n×m)（q为素数，n、m为正整数）和一个小常数β，寻找一个非零向量x ∈ ℤ^m，满足两个条件：
1.A·x ≡ 0 mod q（向量乘积模q为零向量）；
2.||x||_∞ ≤ β（x的无穷范数，即各分量绝对值的最大值，不超过β）。
SIS的困难性在于：在高维格中，很难找到同时满足“模q约束”和“短长度约束”的非零向量，即使量子计算机也无法高效求解。
（2）学习错误问题（LWE）
给定一个矩阵A ∈ ℤ_q^(n×m)、一个秘密向量s ∈ ℤ_q^n、一个服从“小错误分布”的向量e ∈ ℤ_q^m，以及向量b = A·s + e ∈ ℤ_q^m（即b是A与s的乘积加上小错误e）。
任务是：从已知的(A, b)中恢复秘密向量s。
LWE的困难性源于“小错误e”的随机性：e的存在模糊了A·s与b的直接关系，且高维空间中“区分b = A·s + e与随机向量”的问题已被证明等价于格上的另一个困难问题（最短向量问题SVP），而SVP对量子计算同样是困难的。
后来，为提升效率，研究者提出了环LWE（Ring-LWE） 和模块LWE（Module-LWE） 变体——将问题从“整数矩阵”迁移到“多项式环”或“模块”上，通过多项式快速卷积（FFT）优化运算，为实用化算法奠定了基础。
二、基于格的数字签名算法核心思想
与传统数字签名（“私钥签名、公钥验证”）的流程一致，基于格的签名算法也包含“密钥生成、签名、验证”三步，但每一步均依赖格的结构与困难问题设计：
1.密钥生成（KeyGen）
1.生成私钥：构造一个高维格，并生成该格的一组短基S（基向量长度较短，是私钥的核心）；
2.生成公钥：利用短基S生成一个矩阵A（或多项式），并结合SIS/LWE的“错误分布”生成公钥pk = (A, t)（t通常是基于S和小错误生成的向量/多项式）；
3.输出密钥对：(sk = S, pk = (A, t))。
2.签名（Sign）
对消息M签名时，核心是利用私钥的“短基优势”生成一个依赖消息的“短向量”，证明签名者拥有格的短基：
1.对消息M进行哈希，得到哈希值h = H(M)（H为抗碰撞哈希函数）；
2.利用私钥sk（短基S），结合h构造一个短向量σ，满足与公钥pk相关的约束（例如：A·σ ≡ h mod q，且||σ|| ≤ β）；
3.输出签名σ = (σ1, σ2, ...)（具体形式因算法而异）。
这里的关键是：只有拥有短基的签名者能高效生成“满足约束的短向量σ”；若无短基，生成σ则等价于求解SIS/LWE问题，而这是计算上不可行的。
3.验证（Verify）
验证者利用公钥pk检查签名σ的合法性：
1.对消息M重新哈希，得到h = H(M)；
2.验证σ是否满足两个条件：
- 与公钥的约束关系：A·σ ≡ h mod q（或对应Ring-LWE/Module-LWE的多项式等式）；
- 短长度约束：||σ|| ≤ β（确保σ是“短向量”，排除随机生成的可能）；
3.若均满足，则签名有效；否则无效。
三、代表性基于格的数字签名算法
自2001年首个实用格签名算法提出以来，研究者已开发出多代方案，其中以下三类最具代表性，且部分已成为国际标准：
1.GHS签名算法（2001）
GHS是由Goldreich、Goldwasser和Halevi提出的首个实用化基于格的签名算法，基于SIS问题设计，奠定了后续算法的框架：
- 核心原理：私钥是格的短基，公钥是基于短基生成的矩阵A；签名时通过短基生成满足A·σ ≡ H(M) mod q的短向量σ；
- 局限：为保证安全性，算法需采用高维参数，导致密钥和签名长度极长（例如安全级别相当于RSA-2048时，签名长度达数十KB），难以满足实际应用需求。
2.BLISS签名算法（2013）
BLISS（Bimodal Lattice Signature Scheme）是由Alkim等人提出的高效方案，基于环LWE问题优化，解决了GHS的效率瓶颈：
- 核心改进：将整数矩阵替换为“多项式环上的元素”，利用FFT加速多项式乘法，大幅降低计算复杂度；
- 特点：签名长度短（约512字节，仅为GHS的1/100）、签名/验证速度快，支持“无状态”（无需维护状态信息），曾被广泛用于区块链等场景的原型验证；
- 局限：安全性归约依赖“环上的理想格假设”，相比后续的模块格方案，普适性稍弱。
3.Dilithium签名算法（2022）
Dilithium是由Ducas等人提出的NIST后量子密码标准化最终候选算法（2022年确定），基于模块LWE问题设计，是目前工业界落地的首选方案：
- 核心原理：结合“模块格”的灵活性与“SIS变体”的安全性，私钥包含短向量和多项式，公钥是模块矩阵；签名时通过“拒绝采样”技术确保生成的签名满足短长度约束；
- 关键优势：
1.安全性归约更紧致：直接归约到标准格问题，无额外理想假设；
2.多安全级别适配：提供Dilithium-2（中等安全）、Dilithium-3（高安全）、Dilithium-5（极高安全）等参数集，可匹配不同场景需求；
3.平衡效率与安全性：公钥约1.3-2.5KB，私钥约2.5-4.8KB，签名约2.4-4.6KB，虽长于RSA/ECC，但已能满足多数系统需求；
- 应用现状：已被纳入国际密码标准，被微软、谷歌等企业用于后量子密码原型系统，也是区块链项目（如以太坊2.0）后量子升级的候选方案。
四、基于格的数字签名算法核心优势
相比传统签名算法和其他后量子签名方案（如基于编码、哈希的方案），基于格的签名算法具有不可替代的优势：
1.强量子抗性
其安全性依赖的SIS/LWE问题，目前尚无任何量子算法能在多项式时间内求解——这是区别于RSA/ECC的核心特性，也是应对量子计算威胁的根本保障。
2.安全性归约明确
所有主流方案的安全性均可“严格归约”到已知的格困难问题，而非依赖“经验性安全”（如RSA的安全性未被严格归约到大整数分解，仅假设两者等价）。这种“可证明安全”大幅降低了潜在安全风险。
3.可扩展性与灵活性
- 安全级别可调节：通过调整格的维度、模数q等参数，可轻松实现从“中等安全”到“抗量子超级计算机”的不同级别；
- 场景适配性强：既能通过轻量化参数满足物联网设备（低算力、小存储）需求，也能通过高维参数满足金融、政务等关键领域的高安全需求。
4.多功能扩展潜力
基于格的结构可轻松扩展到“高级签名功能”，如盲签名（保护签名者隐私）、群签名（支持群体身份认证）、环签名（匿名签名）等，而其他后量子方案（如基于哈希的SPHINCS+）在扩展高级功能时难度更大。
五、典型应用场景
随着后量子密码标准化推进，基于格的签名算法已开始进入实际应用阶段，主要聚焦于“需长期安全保障”或“对量子攻击敏感”的领域：
1.密码基础设施升级
CA（证书颁发机构）、SSL/TLS协议等核心基础设施将逐步替换RSA/ECC签名模块，采用Dilithium等格签名方案，确保未来量子时代的身份认证与数据完整性。
2.区块链与加密货币
区块链的“不可篡改”特性依赖长期安全的签名算法——若未来量子计算机破解传统签名，早期区块的交易将面临风险。目前，比特币、以太坊等项目已在研究采用格签名作为“后量子兼容层”。
3.物联网（IoT）
物联网设备通常算力有限、存储狭小，基于环LWE的轻量级格签名方案（如优化版BLISS）可适配其资源约束，保障设备身份认证与传感数据的防篡改。
4.关键信息基础设施
金融、能源、政务等领域的核心系统（如银行交易系统、电力调度系统）需保障数十年的安全，格签名的量子抗性使其成为这类系统“长期安全规划”的核心技术。
六、现存挑战与发展方向
尽管优势显著，基于格的签名算法仍面临一些待解决的问题，也是当前研究的重点：
1.密钥与签名长度偏长
相比RSA-2048（公钥256B、签名256B），Dilithium-2的公钥（1.3KB）、签名（2.4KB）长度约为其5-10倍，会增加存储和传输开销。未来需通过“更紧凑的格构造”（如基于NTRU的格变体）进一步压缩长度。
2.计算效率需优化
签名与验证过程中的“多项式乘法”“拒绝采样”等步骤仍比传统算法耗时，尤其在低算力设备（如传感器、嵌入式芯片）上表现不足。通过硬件加速（如专用ASIC芯片）或算法优化（如减少拒绝采样次数）可缓解这一问题。
3.标准化与兼容性
目前国际标准（如NIST PQC）已确定Dilithium等方案，但现有系统（如操作系统、浏览器、数据库）的“后量子迁移”需解决兼容性问题——如何在不中断服务的前提下，实现传统签名与格签名的平滑过渡，是工业界面临的实际挑战。
七、结语
基于格的数字签名算法是后量子密码学领域的“标杆技术”，其强量子抗性、可证明安全与灵活扩展的特性，使其成为应对量子计算威胁的核心方案。随着Dilithium等标准的落地与优化，格签名将逐步渗透到从基础设施到终端设备的各类场景，为未来数十年的信息安全筑牢基石。
